Асимптотика: Интегралы и ряды Федорюк М. В.

В книге приведены основные методы вычисления асимптотики интегралов, сумм и рядов. Рассмотрен ряд приложений к задачам механики и физики. Для математиков, механиков, физиков, инженеров, а также для студентов и аспирантов университетов и инженерно-физических вузов.

Ил. 6. Библиогр. 146 назв.

В многочисленных задачах естествознания возникают интегралы и ряды, содержащие большой параметр. Случаи, когда такие интегралы явно вычисляются, крайне редки; ещё реже удаётся просуммировать ряды. При больших значениях параметра вычисление интегралов и рядов — весьма трудоёмкая задача даже для самых современных ЭВМ. Поэтому решающую роль играют асимптотические методы. В книге изложены основные методы вычисления асимптотики интегралов и рядов и основные результаты, полученные к настоящему времени этими методами.

В гл. I приведены основные сведения об асимптотических оценках, асимптотических рядах и даны простейшие методы вычисления асимптотики интегралов, сумм и рядов. Исследована асимптотика интегралов со слабыми особенностями.

В гл. II изложен метод Лапласа, в гл. III — метод стационарной фазы для одномерных и многомерных интегралов.

В гл. IV изложен важнейший метод вычисления асимптотики интегралов от аналитических функций — метод перевала (в одномерном случае). Приведены формулы суммирования Пуассона и Эйлера-Маклорена и их применения к вычислению асимптотики рядов. Метод перевала в многомерном случае изложен в гл. V.

В гл. VI рассмотрены различные случаи слияния критических точек подынтегральной функции: близкие точки перевала, полюс и точка перевала и другие.

Рассмотрен ряд приложений: вычисление асимптотики интегральных преобразований, решений уравнений с частными производными, разностных уравнений, дифференциально-разностных уравнений, коэффициентов Тейлора, Лорана, Фурье аналитических функций, некоторые задачи теории вероятностей, статистической физики, теории дифракции, гидродинамики и другие.

По мнению автора, при написании такого рода справочника нельзя было ограничиться только перечнем готовых формул, как это делается, например, в справочниках по специальным функциям. Поэтому в книге приведены выводы основных асимптотических формул и подробно рассмотрен ряд конкретных примеров. Надеюсь, что это поможет читателям овладеть основными асимптотическими методами.

ПРЕДИСЛОВИЕ
М. В. Федорюк